Re,
Alors, on va partir du schéma électrique
Sur la droite, il y a 3 connecteurs :
en haut :
Connecteur prise LF-PA 401
au milieu "haut" :
Lumberg MSFQ / 0 10 x
Tout en bas (celui qui n'a pas été utilisé pour brancher le panneau solaire (ça certainement été fait par un professionnel qui ne s'est pas soucié si le fabricant avait prévu un telle disposition

) :
MNL-Triple culot douille MNL
et, entre tout ça, il y a 3 borniers ; on va s'intéresser au 3ième, celui en bas (ou presque) numéroté : 7 - 1 7- 10 - 8 - 9 -11 - 12 - 18
Pour que tout ce beau petit monde soit alimenté, il faut :
a) qu'il y ait une source de tension soit par la batterie cellule ( entre 1 ou 2 et 5 -6 -ou 21 du connecteur prise LF-PA 401). Voir si vous pouvez passer les pointes de touches (les piques) de votre multimètre ? Normalement, vous devez trouver - à peu de chose près - la tension de votre batterie rechargée (les 13,54 V cités dans votre message)
b) ou que l'ensemble du circuit soit alimenté via le chargeur à partir du réseau (borne A8 pour le + et A9 pour la masse). Je ne sais pas si la borne A8 est accessible au multimètre
c) que l'interrupteur séparateur de batterie soit bien sur la position on (présence 12V entre les bornes 1 et 8 du connecteur Lumberg MSFQ) afin que le module contrôleur de niveau batterie BW 208 puisse alimenter le relais sur sa gauche (bornes E et A en vertical).
d) que le relais soit lui aussi alimenté en 12V : tester entre bornes 7 et 8 du connecteur Lumberg MSFQ
Si OK, le contact (représenté N.O - Normalement Ouvert) se ferme : tous les consommateurs sont alimentés : éclairage auvent (pour autant que le moteur ne tourne pas, chauffage, lumières 1, 2, 3, réserve. C'est à dire qu'il y a un + 12V sur les bornes 7 - 10 -8 - 9 - 11 - 12 (vous pouvez prendre la masse sur A7, A8, A9 du chargeur/régulateur ou sur les bornes 21 - 5 - 6 du connecteur prise de raccordement de la batterie cellule, allez au plus simple)
Et effectivement, si vous n'entendez pas ce "fameux" relais "coller" (comme l'on dit ; ou encore basculer) cela provient, soit du relais, soit du module contrôleur de niveau batterie, ce que je ne pense pas....
Bon, si c'est tout du chinois, passez-moi votre Tel par MP et ns conviendrons d'un RV Tel pour faire du diagnostic en live
Pour toutes ces recherches, surtout allez-y calmement, en vous assurant bien que vos pointes de touches ne viennent pas en contact avec d'autres fils ou bornes ; sinon c'est le court-circuit assuré
PS : pourriez-vous faire d'autres photos du bazar, il me semble voir 2 relais (en orange) mais pas si sûr ?